בגרות 582 קיץ 2023 מועד א׳ – שילוב: אליפסה, פרבולה ומעגלהנדסה אנליטית 572 · שיעור 99

בגרות 582 · קיץ 2023 מועד א׳ · שאלה 1

שיעור 99 – בגרות 582 קיץ 2023 מועד א׳ – שילוב: אליפסה, פרבולה ומעגל

פרק 10 – פתרון בגרויות 582

1נוסח השאלה

2סעיף א – מוקדי האליפסה

3סעיף ב (1) – המדריך של הפרבולה

4סעיף ב (2) – הנקודה A

5סעיף ג – הערך של k

6סעיף ד – השוואת ההיקפים

📄 נוסח השאלה

נתונה האליפסה x²144 + y²144 − 4k² = 1 , k הוא פרמטר, 0 < k < 6 .

א. מצאו את שיעורי המוקדים F₁ ו־F₂ של האליפסה (F₁ נמצא בחלק החיובי של ציר ה־x). הביעו באמצעות k .

נתונה פרבולה קנונית שהמוקד שלה הוא F₁ . הנקודה A נמצאת על הפרבולה ברביע הראשון, ונתון AF₁ = 10k .

ב. (1) מצאו את משוואת המדריך של הפרבולה. הביעו באמצעות k .

📄 נוסח השאלה · המשך

(2) מצאו את שיעורי הנקודה A . הביעו באמצעות k .

נתון: הישר 5x + 12y = 138 משיק למעגל שהקטע AF₁ הוא קוטר שלו.

ג. מצאו את k .

הנקודה D נמצאת על האליפסה.

ד. קבעו אם היקף המשולש F₁AF₂ גדול מהיקף המשולש F₁DF₂ , קטן ממנו או שווה לו. נמקו.

סעיף א – מוקדי האליפסה

מתוך המכנים:

a² = 144 , b² = 144 − 4k²

📐 אליפסה קנונית

באליפסה c² = a² − b² . נסמן את מה שנציב:

c² = a² − b²

נציב a² = 144 ו־b² = 144 − 4k² :

c² = 144 − (144 − 4k²)

📐 אליפסה קנונית

x²a² + y²b² = 1
c² = a² − b²
מוקדים (±c , 0)

סעיף א – מוקדי האליפסה · המשך

c² = 144 − (144 − 4k²)

c² = 4k² ⇒ c = 2k

(k > 0 , ולכן c = 2k חיובי.) המוקדים הם (±c , 0) .

✅ פתרון סופי: F₁(2k , 0) , F₂(−2k , 0)

סעיף ב (1) – המדריך של הפרבולה

לפרבולה קנונית y² = 2px המוקד הוא (p2 , 0) והמדריך x = −p2 :

(p2 , 0) = (2k , 0)

📐 פרבולה קנונית

p2 = 2k ⇒ p = 4k

y² = 2 · 4k · x = 8kx

המדריך:

x = −p2 = −2k

📐 פרבולה קנונית

y² = 2px
מוקד F(p2 , 0) , מדריך x = −p2

סעיף ב (1) – המדריך של הפרבולה · המשך

x = −p2 = −2k

✅ פתרון סופי: x = −2k

סעיף ב (2) – הנקודה A

לפי הגדרת הפרבולה, המרחק של A מהמוקד שווה למרחק שלה מהמדריך x = −2k :

AF₁ = x_A + 2k

📐 הגדרת הפרבולה

נציב AF₁ = 10k :

x_A + 2k = 10k

x_A = 8k

נכתוב את משוואת הפרבולה ונסמן את x :

📐 הגדרת הפרבולה

כל נקודה על הפרבולה נמצאת במרחק שווה מהמוקד ומהמדריך

סעיף ב (2) – הנקודה A · המשך

נכתוב את משוואת הפרבולה ונסמן את x :

y² = 8k · x

נציב x = 8k :

y² = 8k · 8k = 64k²

y = ±8k

הנקודה ברביע הראשון, ולכן y = 8k .

סעיף ב (2) – הנקודה A · המשך

הנקודה ברביע הראשון, ולכן y = 8k .

✅ פתרון סופי: A(8k , 8k)

סעיף ג – הערך של k

מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר AF₁ . נכתוב את הנוסחה ונסמן את מה שנציב:

x_M = x₁ + x₂2 , y_M = y₁ + y₂2

📐 אמצע קטע

נציב A(8k , 8k) ו־F₁(2k , 0) :

x_M = 8k + 2k2 = 5k

y_M = 8k + 02 = 4k

הרדיוס הוא חצי מהקוטר:

📐 אמצע קטע

x_M = x₁ + x₂2 , y_M = y₁ + y₂2

סעיף ג – הערך של k · המשך

הרדיוס הוא חצי מהקוטר:

R = AF₁2 = 10k2 = 5k

המשיק למעגל – המרחק מהמרכז לישר 5x + 12y − 138 = 0 שווה לרדיוס:

|5x₀ + 12y₀ − 138|√5² + 12² = R

📐 מרחק נקודה מישר

נציב M(5k , 4k) ו־R = 5k :

|5 · 5k + 12 · 4k − 138|√169 = 5k

📐 מרחק נקודה מישר

d = |Ax₀ + By₀ + C|√A² + B²

סעיף ג – הערך של k · המשך

|5 · 5k + 12 · 4k − 138|√169 = 5k

|73k − 138|13 = 5k

|73k − 138| = 65k

שתי אפשרויות:

73k − 138 = 65k ⇒ 8k = 138

k = 17.25

סעיף ג – הערך של k · המשך

k = 17.25

נפסל, כי נתון k < 6 .

73k − 138 = −65k ⇒ 138k = 138

k = 1

✅ פתרון סופי: k = 1

סעיף ד – השוואת ההיקפים

עם k = 1 : a = 12 , F₁(2 , 0) , F₂(−2 , 0) , A(8 , 8) .

היקף המשולש F₁DF₂ – הנקודה D על האליפסה:

DF₁ + DF₂ = 2a = 24

📐 הגדרת האליפסה

הצלע השלישית היא המרחק בין המוקדים, 2c = 4 :

24 + 4 = 28

היקף המשולש F₁AF₂ :

📐 הגדרת האליפסה

PF₁ + PF₂ = 2a

סעיף ד – השוואת ההיקפים · המשך

היקף המשולש F₁AF₂ :

AF₁ = 10k = 10

AF₂ = √(8 + 2)² + 8² = √164 ≈ 12.81

📐 מרחק בין שתי נקודות

10 + 12.81 + 4 ≈ 26.81

הצלע F₁F₂ משותפת לשני המשולשים, ו־26.81 < 28 .

דרך נוספת, בלי חישוב: נציב את A(8 , 8) באגף שמאל של משוואת האליפסה x²144 + y²140 = 1 :

📐 מרחק בין שתי נקודות

d = √(x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²

סעיף ד – השוואת ההיקפים · המשך

דרך נוספת, בלי חישוב: נציב את A(8 , 8) באגף שמאל של משוואת האליפסה x²144 + y²140 = 1 :

64144 + 64140 ≈ 0.90 < 1

יצא פחות מ־1, כלומר A בתוך האליפסה, ולכן סכום המרחקים שלה מהמוקדים קטן מ־2a .

בסקיצה (k = 1): האליפסה בכחול, הפרבולה בירוק, המעגל בסגול והמשיק באפור.

✅ פתרון סופי: היקף F₁AF₂ קטן מהיקף F₁DF₂

📌 סיכום התשובות

סעיף א

(±2k , 0)

סעיף ב (1)

x = −2k

סעיף ב (2)

A(8k , 8k)

סעיף ג

k = 1

סעיף ד

קטן

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא